Wie macht man aus einem periodischen Dezimalbruch einen gemeinen Bruch?

Es ist keine schwierige Aufgabe, aus dem echten Bruch \frac 1 4 den Dezimalbruch 0{,}25 zu machen, auch umkekehrt ist das leicht machbar. Doch wie sieht es mit periodischen Dezimalbrüchen aus? Also 0{,}\overline 10{,}\overline 20{,}\overline 3, oder 13{,}\overline 7?

Was ist 0{,}\overline 4, geschrieben als Bruch?

Es ist hilfreich, folgende Anleitung zu befolgen, um den Bruch zu berechnen:

  1. Nehmen wir beispielsweise die Zahl 0{,}\overline 4. Eine Annäherung ist  0{,}4. Als echten Bruch geschrieben erhalten wir  \frac {4} {10}. Das ist  4:10 = 0{,}4. Man muss sich im ersten Schritt immer die periodische Dezimalzahl nicht-periodisch denken. Daraus gilt es dann, einen gemeinen Bruch mit einer 10 im Nenner zu bilden. Also \frac {x} {10}.
  2. Bei allen Ziffern außer der 0 und der 9 funktioniert es sehr einfach, eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch zu verwandeln. Man ersetzt die 10 einfach durch eine 9. In unserem Beispiel erhält man: \frac {4} {9}. Das ergibt: 0{,}444… oder eben 0{,}\overline 4. Schriftlich dividierend sieht man schnell, dass sich die Ziffer 4 wiederholt. Das funktioniert bei den Ziffern 1234567 und bei der Ziffer 8. Im Übrigen ist es mit den Ziffern 3 und 6 besonders einfach: Als ein Drittel bzw. zwei Drittel sollten sie bereits bekannt sein: 0{,}\overline {3}=\frac {3}{9}=\frac {1}{3} und 0{,}\overline {6}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}. Bei der 0 und der 9 funktioniert es nicht.

Doch was ist, wenn die periodische Dezimalzahl nicht bloß 0{,}\overline 4 ist, sondern 2{,}\overline 5? Das funktioniert im Prinzip genau wie bei der Zahl  0{,}\overline 4:

  1. Zunächst muss man den Dezimalbruch aufteilen: 0{,}\overline 5 kennen wir schon. Das ist, wie oben erklärt, \frac {5} {9}.
  2. Die 2 vor dem Komma bereitet uns kein Kummer. Wir schreiben sie erst einmal vor den Bruch. Dann haben wir einen gemischten Bruch, der aus logischen, didaktischen und ästhetischen Gründen gerne gemieden wird. Deswegen überwinden wir das auch schnell. Wir erhalten zunächst: 2\frac {5} {9}.
  3. Im nächsten Schritt machen wir aus dem gemischten Bruch einen gemeinen Bruch. Dabei wird der ganzzahlige Anteil, also hier die 2 mit dem Nenner, also der 9, multipliziert und danach zur 5 addiert. Dann ist der Zähler: 2*9+5=23.
  4. Das Ergebnis ist: 2{,}\overline {5}=2\frac{5}{9}=\frac {23}{9}.

Kommentieren